2020. gada 12. klases matemātikas eksāmena atbildes

4.uzdevums
Dots grafiks funkcijai
a) Dotajā koordinātu plaknē uzzīmē funkcijas
b) Nosaki nevienādības atrisinājumu
c) Nosaki izteiksmes skaitlisko vērtību
Paskaidro, kā ieguvi rezultātu, vai parādi pārveidojumus/darbības.

5.uzdevums
Taisnleņa trijstūris ABC, rotējot ap hipotenūzu AC, veido rotācijas ķermeni. Par trijstūri ABC zināms, ka hipotenūza AC = a un šaurais leņķis CAB = β.
a) Uzskicē rotācijas ķermeni, papildinot doto zīmējumu.
b) Nosaki attālumu no punkta B l.īdz taisnei AC.
c) Nosaki rotācijas ķermeņa tilpumu.

c) Rotacijas ķermeņa tilpumu veido divi konusi, kuriem sakrīt pamata rādius OB

Tā kā AO + OC = AC = a

vai pēc formulas

Atbilde:

6.uzdevums
Attālums starp punktiem A un B ir 15 km. No A uz B un no B uz A vienlaikus viens otram pretī izgāja divi tūristi. Viņi satikās pēc 1,5 stundām un neapstājoties turpināja ceļu. Viens no tūristiem attālumu AB veica par 1 stundu 15 minūtēm īsākā laikā nekā otrs. Aprēķini abu tūristu ātrumus.

Ejot viens otram pretī, tuvošanās ātrums V ir abu tūristu ātrumu summa, kuru var izteikt kā

x… viena tūrista ātrums (km/h)
10-x… otra tūrista ātrums (km/h)
ir laiks, kurā katrs tūrists veica visu ceļu

x nevar būt 30 km/h, jo tad otra tūrista ātrums būtu 10 – 30 = -20 km/h. Tādēļ x = 4 km/h un 10 -x = 6 km/h

Atbilde: tūristu ātrumi ir 4 km/h un 6 km/h

3. DAĻA

1.uzdevums
Dota skaitļu virkne 1; 2; 4; 8; …, kuras katrs nākamais loceklis ir divas reizes lielāks nekā iepriekšējais.
a) Pierādi, ka katru divu pēc kārtas ņemtu virknes locekļu summa dalās ar 3.
b) Pierādi, ka katrs virknes loceklis, sākot ar otro, ir par 1 lielāks nekā visu iepriekšējo virknes locekļu summa.

a) Ja vienu virknes locekli apzīmē ar x (tas ir vesels skaitlis), tad nākamais pēc kārtas ir 2x, jo tas ir divas reizes lielāks. Abu summa x + 2x = 3x dalās ar 3, jo dalījums ir
b) Virknes vispārīgā locekļa formula ir

-Visu iepriekšējo virknes locekļu summu var aprēķināt pēc ģeometriskās progresijas summas formulas

-Acīmredzami, ka

2.uzdevums

Par taisnstūra paralēlskaldni zināms, ka tā pamata perimetrs ir 20 dm un tilpums ir 80 . Nosaki un pamato taisnstūra paralēlskaldņa sānu virsmas laukuma mazāko iespējamo skaitlisko vērtību.